O Problema dos Três Corpos: Uma Dança Gravitacional Complexa

Muita gente deve ter ficado curiosa ao assistir à série “O problema dos 3 corpos” da Netflix e de ve ter ficado intrigada sobre o problema real que dá nome à serie (e à série de livros) que é de origem astronômica. Fato é que o universo é repleto de fenômenos fascinantes e desafiadores, e um dos mais intrigantes, sem dúvida, é o Problema dos Três Corpos.

O problema: Imagine três corpos celestes, como planetas ou estrelas, orbitando uns aos outros sob a influência de suas próprias forças gravitacionais. O movimento desses corpos é regido pelas leis da física, especialmente pela Lei da Gravitação Universal de Newton. No entanto, mesmo com essas leis bem estabelecidas, o Problema dos Três Corpos desafia nossa capacidade de prever com precisão o comportamento dos componentes do sistema.

O problema dos 3 corpos foi originalmente proposto por Isaac Newton em 1687. Ele foi capaz de encontrar soluções analíticas para o caso especial de três corpos que estão em uma configuração triangular. No entanto, o problema geral de três corpos não foi resolvido analiticamente até o século 20.

Vamos considerar um exemplo simplificado do Problema dos Três Corpos, onde temos três corpos de massa igual, denominados A, B e C, que interagem entre si apenas pela força gravitacional.

As equações diferenciais que descrevem o movimento de cada corpo podem ser expressas usando as Leis de Newton da Gravitação Universal:

Para o corpo A:

Onde:

• é a constante gravitacional,
• e são as massas dos corpos B e C, respectivamente,
• , e são as coordenadas cartesianas dos corpos A, B e C, respectivamente, e
• e são as distâncias entre os corpos A e B, e A e C, respectivamente.

As equações para os corpos B e C são análogas.

Para resolver numericamente essas equações e prever o movimento dos corpos ao longo do tempo, podemos usar métodos como o método de Euler ou o método de Runge-Kutta.

No entanto, devido à natureza não linear do problema e à sensibilidade às condições iniciais, a previsão a longo prazo do movimento dos corpos pode se tornar imprecisa, especialmente para sistemas complexos ou instáveis. Portanto, simulações computacionais detalhadas são frequentemente necessárias para entender o comportamento dos sistemas de três corpos.

Uma das principais razões para a dificuldade do problema é sua grandiosa complexidade matemática. As equações que descrevem o movimento dos corpos são altamente não lineares e não têm solução analítica para o caso geral (n-corpos). Isso significa que não há uma fórmula matemática simples que possa prever o movimento dos corpos ao longo do tempo. Em vez disso, os cientistas precisam recorrer a métodos numéricos e simulações por computador para estudar o problema.

Além da complexidade matemática, o Problema dos Três Corpos exibe comportamento caótico e é altamente sensível às condições iniciais. Isso significa que pequenas variações nas posições ou velocidades iniciais dos corpos podem levar a resultados significativamente diferentes ao longo do tempo. Essa sensibilidade dificulta ainda mais a previsão precisa do movimento dos corpos.

Embora o Problema dos Três Corpos seja desafiador, ele tem amplas aplicações em diversas áreas da ciência, incluindo astronomia, física e engenharia espacial. O estudo desse problema nos ajuda a entender melhor o comportamento dos sistemas gravitacionais complexos no universo e pode fornecer insights importantes para o desenvolvimento de futuras missões espaciais.

O Problema dos Três Corpos continua sendo um dos desafios mais intrigantes e complexos da física. Apesar de sua dificuldade, os cientistas continuam a explorar e estudar esse problema, utilizando métodos avançados de computação e simulação para desvendar os segredos da dança gravitacional dos corpos celestes no universo.

Em uma simulação, em python disponível no Github (em 2D) podemos ver o seguinte gráfico do movimento dos 3 corpos:

O que confirma o movimento caótico dos corpos a partir das condições iniciais.

SOBRE A SÉRIE: A série da Netflix é uma adpatação do romance homônimo de Liu Cixin, que ganhou o Prêmio Hugo de Melhor Romance em 2015. O livro conta a história de uma astrofísica chinesa que se envolve em uma investigação secreta relacionada ao problema dos 3 corpos e à possível invasão da Terra por uma civilização alienígena. Na minha opinião, vale a audiência de quem, como eu, curte ficção científica.

Fermat, o cálculo integral, quadraturas de curvas e comunicação acadêmica

É lugar-comum que o Cálculo Diferencial e Integral foi “descoberto” simultânea e independentemente por Isaac Newton (1643-1727) e Leibniz (1646-1716), individualmente, cada um a seu modo, diante de problemas semelhantes, mas com interpretações, definições e nomenclaturas totalmente diferentes. Newton, como físico, estava preocupado inicialmente com os problemas de taxas de variação do movimento e Leibiniz buscava algo mais, digamos, “abstrato” e puramente matemático (baseado no problema da tangente em pontos de curvas, ao fim e ao cabo o mesmo problema da taxa de variação). Newton chamava a variação (ou, modernamente, a derivada) de “fluxões” e sua nomenclatura não sobreviveu (a de Leibniz era muito mais robusta).

Poucos sabem, inclusive, que as primeiras edições do “Método das Fluxões” de Newton citava Leibniz e seu método. Após a controvérsia do cálculo, obviamente nas edições posteriores isso foi retirado. O fato é que, por conta da falta de comunicação acadêmica na época (méados do século XVII), muitos cientistas e matemáticos estiveram bem próximos de ter o “insight” do Cálculo diferencial e integral, ou seja, juntar todos os pontos e apresentar algo geral que funcionasse para outros problemas de variação e áreas (que foi o que Newton e Leibiniz fizeram, apresentaram métodos para o problema das taxas de variação (tangentes) e de áreas sob curvas que poderiam ser generalizados para outros problemas semelhantes).

Pierre de Fermat (1607-1665)

Pierre de Fermat (1601-1665) foi um deles. Este post mostra o quão perto ele estava de apresentar uma gênese do cálculo integral. Precisamos, claro, de contexto. Se você não quer saber do contexto histórico pode pular a parte do contexto.

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Vamos lá… O problema de encontrar a área de uma forma plana fechada é conhecido por quadratura. A palavra refere-se à própria natureza da problema: expressar a área em termos de unidades de área, que são quadrados. É um problema que remonta aos gregos antigos e diversos nomes são famosos pelas soluções aproximadas do problema, como Arquimedes (e seu método da exaustão). Mas os gregos não consideravam o infinito como o consideramos hoje (e os paradoxos de Zenão são uma prova disto).

Por volta de 1600, processos infinitos foram introduzidos na matemática e, então, o problema da quadratura tornou-se meramente computacional. O próprio círculo, por esta época, já estava bem definido em relação à sua quadratura (ou área que envolvia a constante irracional ), mas a hipérbole era uma das curvas que resistia a todas as tentativas de quadratura.

A hipérbole é a curva obtida quando um cone é cortado por um plano num ângulo maior do que o ângulo existente entre a base do cone e o seu lado (daí o prefixo “hiper” significando “em excesso de”). O cone (e o corte) sendo algo como a figura abaixo:

cônica gerando a hipérbole

Como resultado deste corte, a hipérbole fica com dois “ramos” separados e simétricos. O resultado é a imagem abaixo:

A hiperbole retangular

Percebe-se, pela imagem acima que a hipérbole tem um par de linhas retas associadas a ela, suas duas linhas tangentes no infinito. Quando se move ao longo de cada “ramo”, afastando-se do centro, nos aproximamos cada vez mais destas linhas, mas nunca a alcançamos. Essas linhas são as assíntotas da hipérbole. São, grosso modo, a manifestação geométrica do conceito de limite, base do cálculo diferencial e integral.

Os gregos trabalhavam com as curvas de um ponto de vista puramente geométrico, mas a invenção da geometria analítica por Descartes (1596-1650) fez com que o estudo dessas curvas se tornassem cada vez mais parte da álgebra. No lugar da curva em si, considera-se, então, a equação que relaciona as coordenadas x e y de um ponto da curva.

Descartes (1596-1650)

Cada uma das seções cônicas é um caso especial de uma equação quadrática (de segundo grau), cuja forma geral é: .

Para o círculo, por exemplo, temos que e , assim chegamos, então, à equação cujo gráfico é um círculo com centro na origem e raio 1 (o círculo unitário). A hipérbole mostrada na figura acima corresponde ao caso e ; e sua equação é , ou o equivalente . Suas assíntotas são, portanto, os eixos x e y. Esse tipo de hiperbole é conhecida como hipérbole regular.

Finalizando o contexto, sabe-se que Arquimedes não conseguiu encontrar a quadratura da hipérbole pelo método da exaustão. Também o métodos dos indivisíveis não alcançou este objetivo, principalmente porque a hipérbole, ao contrário do círculo e da elipse, é uma curva que vai ao infinito, assim é preciso esclarecer o que queremos dizer por quadratura neste caso.

A figura abaixo mostra um ramo da hipérbole . No eixo dos x nós marcamos o ponto fixo e o ponto arbitrário . Por área sob a hipérbole queremos nos referir à área entre o gráfico de , o eixo dos x e as linhas verticais (ordenadas) e . É claro que o valor numérico desta área ainda vai depender de nossa escolha de t, sendo, portanto, uma função de t. Vamos chamar essa função de . O problema da quadratura da hipérbole resume-se a encontrar esta função, isto é, exprimir a área como uma fórmula envolvendo a variável t.

A área sob a hipérbole retangular de a

Vários matemáticos tentaram resolver este problema de forma independente (mais uma vez a falta de clareza na “comunicação acadêmica” – que sequer existia, atrapalhava a matemática e a ciência). Os mais destacados foram os já citados, Descartes e Fermat, além de Pascal (1623-1662). Os 3 são o grande triunvirato francês nos anos que antecederam a invenção do Cálculo infinitesimal (outro nome para o cálculo diferencial e integral). Fim do Contexto.

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Fermat estava interessado na quadratura de curvas cuja equação geral é , onde n é um inteiro positivo. Essas curvas são às vezes chamadas de parábolas generalizadas (a própria parábola é o caso ). Ele fez a aproximação da área sob cada curva através de uma série de retângulos cujas bases formam uma progressão geométrica decrescente. Isto é muito semelhante ao método da exaustão de Arquimedes, mas ao contrário de seu predecessor, Fermat não evitou recorrer a uma série infinita. A figura abaixo mostra uma porção da curva entre os pontos e no eixo dos x.

O método de Fermat de aproximação da área sob o gráfico de através de uma série de retãngulos, cujas bases formam uma progressão geométrica

Fermat, então, imaginou o intervalo entre e como sendo dividido em um número infinito de subintervalos pelos pontos … , onde . Então, começando em N e trabalhando no sentido inverso, para que esses intervalos formem uma P.G. decrescente, se tem , , , e assim por diante, onde r é menor do que 1. Assim, as alturas (eixo das ordenadas y) da curva nesses pontos são , , , etc. A partir daí é fácil encontrar a área de cada retângulo e então somar as áreas, usando a fórmula do somatório para uma série geométrica infinita. A fórmula resultante é:

(1) ,

onde o r subscrito em A indica que a área ainda depende de nossa escolha de . Fermat então raciocinou que, de modo a melhorar o encaixe entre os retângulos e a curva verdadeira, a largura de cada retângulo devia se tornar bem pequena como na figura abaixo:

Uma aproximação melhor pode ser obtida fazendo os retângulos menores enquanto se aumenta o número

Para conseguir isso, a proporção comum r deve se aproximar de 1, e quanto mais próxima, melhor o “encaixe” (e mais fácil a soma). Aliás, quando r → 1 (r tende ao valor 1), a equação 1 torna-se a expressão indeterminada 0/0. Fermat foi capaz de contornar essa dificuldade notando que o denominador da equação 1 acima, , pode ser escrito na forma fatorada, como .

Quando o fator no numerador e no denominador é cancelado, a equação 1 torna-se:

Quando deixamos r → 1, cada parcela no denominador tende a 1, o que resulta na fórmula

(2)
Todo estudante de cálculo vai reconhecer a equação 2 como a integral . A famosa integral do monômio.

Fermat trabalhou nessa ideia em torno de 1640, cerca de 30 anos antes de Newton e Leibniz estabelecessem esta mesma fórmula como parte de seus respectivos cálculo diferencial e integral. Este trabalho representou MUITO porque conseguia a quadratura não apenas de uma curva, mas de toda uma família de curvas, aquelas fornecidas pela equação para valores inteiros, positivos de n.

Interessante notar que quando , a fórmula dá o que é exatamente o resultado obtido por Arquimedes pelo método da exaustão para a a párabola.

O mais incrível de tudo é que, ao modificar ligeiramente seu procedimento, Fermat mostrou que a equação 2 permanece válida mesmo quando n é um inteiro negativo , desde que agora calculemos a área de x = a (onde a > 0) até o infinito. Quando n é um inteiro negativo, digamos (onde m é positivo), obtemos a família de curvas , chamadas de hipérboles generalizadas. Que a fórmula de Fermat funcione mesmo nesse caso é notável, já que as equações e , apesar de sua aparente semelhança, representam tipos bem diferentes de curvas: as primeiras são contínuas em toda a parte, enquanto as últimas se tornam infinitas em e em, portanto, possuem uma “quebra” (uma assíntota vertical) neste ponto.

Fermat ficou muito contente com sua descoberta porque ela permanecia válida mesmo quando a restrição de n ser positivo era removida. Mas, havia um problema. problema. A fórmula de Fermat falhava para uma curva da qual toda a família deriva o seu nome: a hipérbole . Isso ocorre porque para , o denominador na equação 2 se torna 0. A frustração de Fermat por não ser capaz de cobrir este caso tão importante deve ter sido grande, mas ele a escondeu atrás de palavras simples. “Eu digo que todas essas hipérboles infinitas, exceto a de Apolônio (a hipérbole ), ou a primeira, podem ser quadradas pelo método da progressão geométrica, de acordo com um procedimento geral e uniforme”.

Quem resolveu este problema foi um dos contemporâneos de Fermat, embora pouco conhecido. Grégoire de Saint-Vicent (1584-1667), um jesuíta belga que trabalhou a maior parte da vida trabalhando em problemas de quadratura.

Seu principal trabalho, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni (1647), foi compilado a partir de milhares de textos científicos que Saint-Vincent deixou para trás quando fugiu de Praga ante o avanço dos suecos em 1631. Eles foram resgatados por um colega e devolvidos ao autor dez anos depois. O atraso na publicação torna difícil estabelecer a primazia de Saint-Vincent com certeza absoluta, mas parece que ele foi o primeiro a notar que, quando , os retângulos usados na aproximação da área sob a hipérbole possuem, todos, áreas iguais.

A imagem abaixo mostra que que, conforme a distância de 0 cresce geometricamente, as áreas correspondentes crescem em incrementos iguais — ou seja, aritmeticamente — e isso continua sendo verdade mesmo ao passarmos ao limite quando r → 1 (ou seja, quando fazemos a transição dos retângulos discretos para a hipérbole contínua). Mas isso, por sua vez, implica que a relação entre a área e a distância é logarítmica. Mais precisamente, se denotarmos por A(t) a área sob a hipérbole, a partir de um ponto de referência fixo x > 0 (por conveniência geralmente escolhemos x = 1) até um ponto variável x = t, teremos A(t) = log t. Um dos alunos de Saint-Vincent, Alfonso Anton de Sarasa (1618-1667), escreveu essa relação explicitamente registrando uma das primeiras ocasiões em que se fez o uso de uma função logarítmica (que eram, prioritariamente, uma ferramenta usada para cálculos complexos).

Quando as bases formam uma PG, os retângulos possuem áreas iguais. A área é proporcional ao logaritmo da distância horizontal

Assim, a quadratura da hipérbole foi finalmente conseguida cerca de dois mil anos depois dos gregos, que primeiro enfrentaram o problema.

Portanto, quando Newton e Leibniz se debruçaram sobre os problemas que os levariam independepentemente à invenção da mais incrível e impressionante ferramenta científica de todos os tempos (o Cálculo diferencial e integral), as princiais ideias por trás do Cálculo já eram razoavelmente bem conhecidas pela comunidade matemática. O método dos indivisíveis, embora repousando em uma base incerta, tinha sido aplicado com sucesso a um conjunto de curvas e sólidos; e o método da exaustão de Arquimedes, em sua forma moderna, revisada, resolvera a quadratura da família de curvas . Embora esses métodos fossem bem-sucedidos, eles ainda não estavam reunidos em um sistema único; cada problema exigia uma abordagem diferente e o sucesso dependia da engenhosidade geométrica, habilidades com a álgebra e uma boa dose de sorte. O que se precisava era de um procedimento geral e sistemático — um conjunto de algoritmos — que permitiriam resolver esses problemas com facilidade e eficiência. Este procedimento foi fornecido por Newton e Leibniz.

O ponto é que estas ferramentas teriam sido desenvolvidas, provavelmente, muito antecipadamente se existisse, à época, como hoje, uma comunidade científica vibrante e atuante, com publicações compartilhadas e o conhecimento sendo construído sobre as bases do que se fez anteriormente.

Problemas de comunicação e, principalmente, locomoção e transporte, claro, afetavam isso, mas a postura de cientistas, como Newton que guardavam para si seus trabalhos (ele só publicou o seu cálculo quando viu que o que Leibniz havia publicado era, ao fim e ao cabo, o mesmo que ele tinha conseguido), atrapalhavam bastante o avanço das contribuições.

O que teria acontecido (sabe-se que a revolução científica, de fato, começou com a invenção do cálculo e a normatização do método científico) se a comunicação acadêmica tivesse levado à invenção do cálculo alguns anos, décadas ou séculos antes do que o que realmente o foi?

…

Nunca saberemos. Mas, gosto de pensar que os avanços científicos teriam sido acelerados enormemente…

Sexta-feira, dia de recomendações – draconianos e nerdologias

Seguindo o #FollowFriday do Twitter e para iniciar o fim de semana algumas recomendações e meus centavos sobre as mesmas:

Podcast Dragões de Garagem:
http://scienceblogs.com.br/dragoesdegaragem/

– Excelente Podcast sobre ciência. Sou assíduo desde o primeiro episódio, embora nunca tenha comentado por lá (shame on me!). Editado por Dônovan Ferreira Rodrigues, biólogo, em suas palavras, “o único editor de podcast cientista que mora em Goiânia”, tem como integrantes: Luciano Queiroz, mestrando em Microbiologia pela USP; Lucas Carmagos, entomólogo; Cristiano Silvério, estudante de Física; Marcos V. Dantas-Queiroz, biólogo e mestrando e Mariana Fioravanti, bióloga. Embora com um time onde a maioria é de biólogos os assuntos são variadíssimos e vão desde sondas espacias, passando por Estatística e Matemática (e, claro, Física) aos aspectos sociais do Ebola. Recomendadíssimo! Ouço sempre e é um dos melhores podcasts sobre ciência e divulgação científica, feito e realizado por cientistas, amantes da ciência e sempre trazendo convidados top como o Átila Iamarino, o Ricardo Bittencourt e outros. Recomendo TODOS os episódios! E é interessantíssimo, ao ouvi-los em sequência (do primeiro ao mais recente), perceber a grande evolução que o programa teve até os dias (e formato) atuais. Evolução, uma palavra e um conceito totalmente inserido no contexto ‘draconiano’. Um grande, maiúsculo podcast!

Canal Nerdologia do Youtube:
https://www.youtube.com/channel/UClu474HMt895mVxZdlIHXEA

:Foi através do programa “Dragões de Garagem #41 – Aspectos sociais do Ebola” que conheci o excelente canal “Nerdologia” do Youtube. Realizado por Átila Iamarino, biólogo, pesquisador e curioso profissional. Já tinha ouvido o Alexandre Ottoni e o Dave Pazos, respectivamente o Jovem Nerd e o Azaghal (do também excelente e divertidíssimo podcast “Nerdcast“) falarem sobre o “Nerdologia”, mas (shame on me!) o ritmo de trabalho não tinha me dado a oportunidade de conhecer. Como perdi tempo! O Nerdologia é simplesmente sensacional, com uma produção e edição excelente da Amazing Pixel, de alto nível mesmo, arte do Tucano (excelente!) e direção do Jovem Nerd e do Azaghal. Sob o pretexto de entender como a ciência se mistura com a cultura nerd (no contexto games, livros, filmes e quadrinhos) temos um canal delicioso com contribuições à divulgação científica que nem em 100 anos a SUPER (e a fraca edição/produção atual) seriam capazes de entregar! É comercial sim (E quem não é? A juventude é uma banda em uma propaganda de refrigerantes!?), mas é de tão alto nível que você nem se incomoda com o merchan. Acaba gostando e “comprando”, literalmente, a ideia. O canal é incrível. Um dos melhores do Youtube, sem dúvida. Vai ao ar toda quinta e recomendo assistir TODOS os episódios! Mais um grande golaço do Jovem Nerd e equipe!

Então, é isso!
Essas duas recomendações vão consumir bastante tempo para serem digeridas! São excelentes mesmo. Recomendo para todos os meus alunos, amigos, familiares e qualquer um que deseje conhecer mais… Afinal, conhecimento é poder!
Lambda, Lambda, Lambda!
😉

P.S.: Feed do ‘dragões de garagem’: http://scienceblogs.com.br/dragoesdegaragem/feed/
Twitter dos draconianos: https://twitter.com/dragoesgaragem
Facebook do Dragões: https://www.facebook.com/dragoesdegaragem?fref=ts 

Twitter do Nerdologia: https://twitter.com/nerdologia
Facebook do Nerdologia: https://www.facebook.com/CanalNerdologia
Instagram do Nerdologia: http://instagram.com/nerdologia

A Matemática de tudo

Quando disse para um amigo meu do trabalho que iria fazer uma apresentação sobre Matemática para alunos do ensino médio ele (não sei porque) ficou intrigado. “Como pode uma apresentação de Matemática”, ele retrucou. Fiquei a madrugada preparando o material que iria fazer parte da Semana de Matemática da Escola KJK (Kairala José Kairala que, por acaso, foi onde cursei o ensino médio!). Comecei por volta das 11 horas e, felizmente, 45 minutos depois, às 11:45 TODOS os alunos e alunas ainda estavam no auditório quente (sem ar condicionado naquele dia) viajando com os devaneios e maravilhas da Matemática

Compartilho agora esta apresentação que fiz para pouco mais de 200 alunos do ensino médio do KJK na semana de #matemática de 2010: Chama-se “A matemática de tudo”.

Fui à escola à pedido do professor de filosofia Edmilson Lima que, por acaso, é meu pai (e hoje, 30/05, comemora meio século de vida \o/). A apresentação mostra o quanto estamos rodeados de matemática por todos os lados e demonstra que sem ela jamais estaríamos no atual estado tecnológico e científico que nos encontramos…

Link: http://www.slideshare.net/edkallenn/a-matemtica-de-tudo-edkallenn-lima ou então clique aqui.

“A matemática é o alfabeto pelo qual Deus criou o universo” – Galileu Galilei.

P.S. Uma pena os vídeos não puderem ser compartilhadas, mas prometo que os posto no Youtube e depois volto aqui e atualizo este post com os links. Abs.

Ciência x Religião – a opinião de Marcelo Gleiser

“O debate entre ciência e religião restringe-se na maior parte das vezes à discussão de sua mútua compatibilidade: será possível que uma pessoa possa questionar o mundo cientificamente e ainda assim ser religiosa? Acredito que a resposta é um óbvio sim, contanto que seja claro para essa pessoa que ambas não devem interferir entre si de modo errado, ou seja, que existem limites tanto para a ciência como para a religião.
Cientistas não devem abusar da ciência, aplicando-a a situações claramente especulativas, e, apesar disso, sentirem-se justificados em declarar que resolveram ou que podem resolver questões de natureza teológica.Teólogos não devem tentar interpretar textos sagrados cientificamente, porque estes não foram escritos com esse objetivo.
Para mim, o que é realmente fascinante é que tanto a ciência como a religião expressam nossa reverência e fascínio pela Natureza. Sua complementaridade se manifesta na motivação essencialmente religiosa dos maiores cientistas de todos os tempos. A reverência que tanto os inspirou, e que me inspira a ser um cientista hoje, é em essência a mesma que inspirou os criadores de mitos de outrora. Quando, nos confins silenciosos de nossos escritórios, nos deparamos com algumas das questões mais fundamentais sobre o Universo, podemos ouvir, mesmo que sufocados pelo som monótono dos computadores, o canto de nossos antepassados ecoando no tempo, convidando-nos para dançar”. – Marcelo Gleiser in A dança do Universo.”

É prof. Marcelo, convidando-nos para dançar, como o sr. mesmo diz: A dança do universo.

Montagem sobre fotos de Maurilo Clareto/ÉPOCA e reprodução

Esse trecho do livro “A dança do universo”, logo no comecinho da leitura dá a tônica deste excelente livro de Gleiser que trata sobre a origem da vida e do universo sempre contrapondo a ciência e a religião e o fascínio do que ele chama de “A pergunta” causa nele e em todos aqueles curiosos (que como eu) gostariam de verdaderiamente saber “o mistério”, a verdade “como ela será por toda a eternidade”, enfim, conhecer, saber, desvendar em meio às pertinentes perguntas (que as crianças tanto nos fazem) os sabores, as delícias do transcendente. Recomendadíssimo o livro de Gleiser, leitura leve, sem tecnicismos que tanto metem medo nos incautos, e que revela o prazer de conhecer um pouco mais os mistérios do universo.

Algoritmo de Euclides

O algoritmo de Euclides para obtenção do MDC pode ser descrito como uma série de divisões sucessivas, o que dispensa fatoração.